Question

【题目】已知矩形中，，动点从点出发，以2cm/s的速度沿向终点匀速运动，连接，以为直径作⊙分别交于点，连接.设运动时间为s .

(1)如图①，若点为的中点，求证:;

(2)如图②，若⊙与相切于点，求的值;

(3)若是以为腰的等腰三角形，求的值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）2.5或4.

【解析】

（1）由已知证明，推出BC=BP；（2）连接OH，过点O作OM⊥AD于M.由四边形ABCD是矩形，可证°，可得OM∥AB，可证可得，OM=AB=3；由AP=2t，可得MP=AM=2t，MD=10-t，可证四边形OMDH是矩形，可得OH=OP=MD=10-t，根据勾股定理可知：在中，，即可求出t的值；（3）分两种情况讨论，当AE=BE时，则由四边形PABE内接于⊙，可得，

可推，故PB=BC=10，根据勾股定理在中，AP=，可得2t=8，t=4；若AB=AE，可证可得AP=PD=5，

即2t=5，解得t=2.5；

（1）证明：∵BP为⊙直径，

∴°；

∵点E为的中点，

∴，

∴，

在

∴，

∴BC=BP；

（2）连接OH，过点O作OM⊥AD于M.

∵四边形ABCD是矩形，

∴°；

∵OM⊥AD，AB⊥AD，

∴OM∥AB；

∴，，

∴OM=AB=3；

∵AP=2t，

∴MP=AM=2t，MD=10-t，

∵⊙与相切于点，

∴°，

∴四边形OMDH是矩形，

∴OH=OP=MD=10-t，

在中，，

解得t=；

（3）若AE=BE，则

∵四边形PABE内接于⊙，

∴，

∵AD∥BC，

∴，

∴，

∴PB=BC=10，

在中，AP=，

∴2t=8，t=4；

若AB=AE，

则，

同理可得，

∴；

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD；

在

∴

∴AP=PD=5，

即2t=5，解得t=2.5；

综上所述，t的值为2.5或4.