Question

如图所示，在半径为r的圆内作一个内接正三角形，然后作这个正三角形的一个内切圆，那么这个内切圆的半径是

1

2

r

．

Answer 1

分析：△ABC为大⊙O的内接正三角形，小⊙O为△ABC的内切圆，与BC切于D，且OB=r，根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°，根据内圆的性质以及内心的性质得到∠OBD=

1

2

∠ABC=30°，OD⊥BC，然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到OD=

1

2

OB=

1

2

r．

解答：解：如图，△ABC为大⊙O的内接正三角形，小⊙O为△ABC的内切圆，与BC切于D，且OB=r，
∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC=60°，
∵小⊙O为△ABC的内切圆，与BC切于D，
∴∠OBD=

1

2

∠ABC=30°，OD⊥BC，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30°，OB=r，
∴OD=

1

2

OB=

1

2

r．
故答案为

1

2

r．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，三角形内心到三角形三边的距离相等．也考查了正三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．