某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成.如图.在⊙O1和扇形O2CD中.⊙O1与O2C.O2D分别相切于A.B.∠CO2D=60°.直线O1O2与⊙O1.扇形O2CD分别交于E.F两个点.EF=24cm.设⊙O1的半径为xcm. (1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径, (2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元／cm2和0.06／cm2元.当⊙O1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O₁和扇形O₂CD中，⊙O₁与O₂C、O₂D分别相切于A、B，∠CO₂D=60°，直线O₁O₂与⊙O₁、扇形O₂CD分别交于E、F两个点，EF=24cm，设⊙O₁的半径为xcm，

（1）用含x的代数式表示扇形O₂CD的半径；

（2）若⊙O₁和扇形O₂CD两个区域的制作成本分别为0.45元／cm²和0.06／cm²元，当⊙O₁的半径为多少时，该玩具成本最小？

【答案】

（1）（24－3x）cm；（2）4cm

【解析】

试题分析：（1）连接O₁A.根据切线的性质可得O₁A⊥O₂C，O₂E平分∠CO₂D，由∠CO₂D=60°可得∠AO₂O₁=∠CO₂D=30°，在Rt△O₁AO₂中，根据∠AO₂O₁的正弦函数可表示出O₁O₂的长，从而得到结果；

（2）设该玩具的制作成本为y元，根据“⊙O₁和扇形O₂CD两个区域的制作成本分别为0.45元／cm²和0.06／cm²元”，再结合圆的面积公式、扇形的面积公式根据二次函数的性质求解即可.

（1）连接O₁A.

∵⊙O₁与O₂C、O₂D分别切一点A、B，

∴O₁A⊥O₂C，O₂E平分∠CO₂D.

∵∠CO₂D=60°，

∴∠AO₂O₁=∠CO₂D=30°.

在Rt△O₁AO₂中，，

∴O₁O₂=AO₁sin∠AO₂O₁=xsin30°=2x.

∵EF=24cm，

∴FO₂=EF－EO₁－O₁O₂=24－3x，即扇形O₂CD的半径为（24－3x）cm；

（2）设该玩具的制作成本为y元，由题意得

∴当x=4时，y的值最小

答：当⊙O₁的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小。

考点：二次函数的应用

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．

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（1）用含x的代数式表示扇形O₂CD的半径；
（2）若⊙O₁和扇形O₂CD两个区域的制作成本分别为0.45元／cm²和0.06／cm²元，当⊙O₁的半径为多少时，该玩具成本最小？