Question

（根据课本习题改编）如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为

60

37

．
探究与计算：
（1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为

 

；
（2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为

 

；
（3）如图4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．

Answer 1

分析：利用相似三角形的对应高的比等于相似比可列出关于x的方程求解即可．如三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，设正方形的边长是x，则过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，易得△CGF∽△CAB，所以

CM

CN

=

GF

AB

，即

12 5 -x

12 5

=

nx

5

解得x=

60

25+12n

．

解答：解：（1）

60

49

；（2分）

（2）

60

61

；（2分）

（3）若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，正方形的边长是

60

25+12n

．（2分）
证明，如图，
过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，
设小正方形的边长为x，
∵四边形GDEF为矩形，∴GF∥AB，CM⊥GF，
易算出CN=

12

5

，
∴

CM

CN

=

GF

AB

，即

12 5 -x

12 5

=

nx

5

，
∴x=

60

25+12n

．
即小正方形的边长是

60

25+12n

．（4分）

点评：主要考查了正方形，矩形的性质和相似三角形的性质．会利用三角形相似中的相似比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键．