Question

不定方程a²+b²+c²=a²b²的所有整数解是

 

．

Answer 1

分析：首先对其中c进行分析，c等于零 奇数 偶数再对a b分析（同为奇数 偶数 一奇一偶），求出每种情况的解的情况，再依次进行分析，最终求出方程的解．只有一个解．

解答：解：首先对c进行奇偶性分析：
（1）c=0时，方程化为a²+b²=a²b²，即（a²-1）（b²-1）=1由于a²-1与b²-1都是1的约数，
所以

a2-1=1 b2-1=1

，

a2-1=-1 b2-1=-1

以上方程组只能解出a=b=0，于是，方程有一组解a=b=c=0．
（2）c为奇数时，再对a，b进行奇偶性分析．
（i）若a和b同为奇数，则a²，b²，c²都是4k+1型，于是a²+b²+c²为4k+3型，而a²b²为4k+1型，等式不能成立，方程无解；
（ii）若a，b同为偶数，此时方程左边=a²+b²+c²为奇数，左边=a²b²为偶数，方程无解；
（iii）若a和b为一奇一偶，此时方程左边为4k+2型，右边为4k时，方程无解．
（3）c为偶数时，仍对a和b进行奇偶性分析：
（i）若a和b同为奇数，则方程左边为4k+2型，右边为奇数，方程无解；
（ii）若a和b为一奇一偶，则方程左边为奇数，右边为偶数，方程无解；
（iii）若a，b同为偶数，这时，方程两边均为4k型，需要再细致分析：
设a=2^mα，b=2ⁿβ，c=2^tr，其中m，n，t为非负整数，α，β，r为奇数．则方程化为2^2mα²+2²ⁿβ²+2^2tr²=2^2m+2nα²β²
当t最小时，方程两边约去2^2t，得2^2m-2tα²+2^2n-2tβ²+r²=α²β²•2^2m+2n-2t显然，方程左边为奇数，右边为偶数，方程无解；
当m最小时，方程两边约去2^2m得α²+2^2n-2mβ²+2^2t-2mr²=2²ⁿα²β²．
同样，方程左边为奇数，右边为偶数，方程无解；
当n最小时，同样可得方程无解．
当m=n=t时，则方程左边是奇数，而右边是偶数，方程无解；
综上讨论，方程a²+b²+c²=a²b²只有一组整数解a=0，b=0，c=0．

点评：解此题的关键是如何对abc进行分析，分析要全面（如奇数偶数零），求出所有情况的方程的解，再针对所有的进行归纳和总结．