Question

（2012•萧山区一模）已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y=

m

x

相交于点C、D，且点D的坐标为（1，6）．
（1）如图1，当点C的横坐标为2时，求点C的坐标和

CD

AB

的值；
（2）如图2，当点A落在x轴负半轴时，过点C作x轴的垂线，垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．
①判断△EFC的面积和△EFD的面积是否相等，并说明理由；
②当

CD

AB

=2时，求点C的坐标和tan∠OAB的值；
（3）若tan∠OAB=

1

7

，请直接写出

CD

AB

的值（不必书写解题过程）

Answer 1

分析：（1）由点D（1，6）在反比例函数y=

m

x

的图象上可求出m的值，进而得出反比例函数的解析式，再由点C的横坐标为2即可得出其纵坐标，故可得出C点坐标；再算出一次函数解析式，进而得到A、B点坐标，然后可算出

CD

AB

的值；
（2）①设C（a，b），则ab=6，由S_△EFC=

1

2

|ab|=3，S_△EFD=

1

2

×1×6=3，可得△EFC的面积和△EFD的面积相等；
②先证明四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形，故可得出CE=BF，∠FDB=∠EAC，再由全等三角形的判定定理得出△DFB≌△AEC，故AC=BD，设CD=2k，AB=k，DB=

k

2

，
可得

DB

AB

=

1

2

，再证明△DFB∽△AOB，可算出OA=2，OB=4，进而得到tan∠OAB=

BO

AO

=2．
（3）根据1.2两图，要分两种情况，一是k=

1

7

，二是k=-

1

7

．

解答：解：（1）∵D（1，6）在y=

m

x

上，
∴m=6，即双曲线解析式是 y=

6

x

，
当C点横坐标为2时，纵坐标为3，
∴C（2，3）．
直线AB过点C（2，3），D（1，6），得

2k+b=3 k+b=6

，
解得：

k=-3 b=9

，
故直线AB的解析式为y=-3x+9．
∴B（0，9），A（3，0），
∴AB=3

10

，
∵C（2，3），D（1，6），
∴CD=

10

∴

CD

AB

=

1

3

；

（2）①设C（a，b），则ab=6，
∵S_△EFC=

1

2

（-a）（-b）=

1

2

ab=3，而S_△EFD=

1

2

×1×6=3，
∴S_△EFC=S_△EFD；
②∵S_△EFC=S_△EFD，且两三角形同底，
∴两三角形的高相同，
∴EF∥CD，
∵DF∥AE，BF∥CE，
∴四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形，
∴CE=BF，∠FDB=∠EAC，
在△DFB与△AEC中，
∵

∠DFB=∠AEC CE=BF ∠FDB=∠EAC

，
∴△DFB≌△AEC，
∴AC=BD，
∵

CD

AB

=2，设CD=2k，AB=k，DB=

k

2

，
∴

DB

AB

=

1

2

，
∵∠DFB=∠AOB，∠DBF=ABO，
∴△DFB∽△AOB，
∴

DF

AO

=

DB

AB

=

BF

BO

=

1

2

，
∵DF=1，
∴OA=2，
∵OF=6，
∴OB=4，
∴tan∠OAB=

BO

AO

=2．
∵OA=2，OB=4，
∴A（-2，0），B（0，4），
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得

y=2x+4 y= 6 x

，
解得：

x=-3 y=-2

，

x=1 y=6

，
∴C（-3，-2）．


（3）如图2，直线与双曲线过D点（1，6），带入双曲线方程6=

m

1

，
解得：m=6，
带入直线方程，6=k+b，b=6-k，
所以直线方程变为y=kx+6-k，
∵tan∠OAB=

1

7

，
∴直线方程的斜率为

1

7

，即k=

1

7

，
∴b=

41

7

，
∴直线方程为y=

1

7

x+

41

7

，
∴A的坐标为（-41，0），B（0，

41

7

），
再将直线方程带入双曲线方程有

6

x

=

1

7

x+

41

7

，解得x=1或-42，
当x=-42，y=-

1

7

，
过C做平行于x轴的直线，过D做平行于y的直线，两直线相交与M，
∴△AOB∽△CMD，
∴

CD

AB

=

CM

AO

，
CM=1-（-42）=43，AO=41，所以

CD

AB

=

43

41

．
如图1：∵tan∠OAB=

1

7

，
∴直线方程的斜率为

1

7

，即k=-

1

7

，
∴b=

43

7

，
∴直线方程为y=-

1

7

x+

43

7

，
∴A的坐标为（43，0），B（0，

43

7

），
再将直线方程带入双曲线方程有

6

x

=-

1

7

x+

43

7

，解得x=1或42，
当x=42，y=

1

7

，
∵△AOB∽△CPD，
∴

CD

AB

=

CP

AO

，
CP=42-1=41，AO=43，
∴

CD

AB

=

41

43

．
综上所述：

CD

AB

的值为

43

41

或

41

43

．

点评：本题考查了反比例函数的综合运用，涉及待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积、相似三角形的性质，三角函数定义，题目综合性较强．