Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到射线AN．点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部．

(1)求线段AC的长；

(2)当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求△BCD的面积；

(3)求△BCD周长的最小值；

(4)当△BCD的周长取得最小值，且时，△BCD的面积为________．

(第(4)问只需填写结论，不要求书写过程)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵直线与x轴、y轴分别交于C、A两点， 　　∴点C的坐标为，点A的坐标为(0，2)．………………1分 　　∴AC＝4．………………2分 　　(2)如图，当AD∥BC时， 　　依题意，可知∠DAB＝45°， 　　∴∠ABO＝45°． 　　∴OB＝OA＝2． 　　 　　………………3分 　　如图，当AB∥DC时， 　　可得 　　设射线AN交x轴于点E． 　　∵AD∥x轴， 　　∴四边形AECD为平行四边形． 　　 　　综上所述，当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时， 　　………………4分 　　(3)如图，作点C关于射线AM的对称点，点C关于射线AN的对称点．………………5分 　　由轴对称的性质，可知 　　 　　连结、， 　　可得 　　 　　连结． 　　∵两点之间线段最短， 　　∴当B、D两点与、在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段的长． 　　∴△BCD的周长的最小值为．………………7分 　　(4)………………8分 　　(本题若没有第(3)问的答案，则第(4)问不给分) 　　(注：对于每题的不同解法，请老师们根据评分标准酌情给分)