Question

已知一次函数y=-

3

4

x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．

（1）求点B的坐标；
（2）求直线AE的表达式；
（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
（4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．

Answer 1

（1）对于y=-

3

4

x+6，
当x=0时，y=6；当y=0时，x=8，
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=10，
则A（0，6），B（8，0）；

（2）过点E作EG⊥AB，垂足为G（如图1所示），
∵AE平分∠BAO，EO⊥AO，EG⊥AG，
∴EG=OE，
在Rt△AOE和Rt△AGE中，

AE=AE EO=EG

，
∴Rt△AOE≌Rt△AGE（HL），
∴AG=AO，
设OE=EG=x，则有BE=8-x，BG=AB-AG=10-6=4，
在Rt△BEG中，EG=x，BG=4，BE=8-x，
根据勾股定理得：x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴E（3，0），
设直线AE的表达式为y=kx+b（k≠0），
将A（0，6），E（3，0）代入y=kx+b得：

b=6 3k+b=0

，
解得：

b=6 k=-2

，
则直线AE的表达式为y=-2x+6；

（3）延长BF交y轴于点K（如图2所示），
∵AE平分∠BAO，
∴∠KAF=∠BAF，
又BF⊥AE，
∴∠AFK=∠AFB=90°，
在△AFK和△AFB中，
∵

∠KAF=∠BAF AF=AF ∠AFK=∠AFB

，
∴△AFK≌△AFB，
∴FK=FB，即F为KB的中点，
又∵△BOK为直角三角形，
∴OF=

1

2

BK=BF，
∴△OFB为等腰三角形，
过点F作FH⊥OB，垂足为H（如图2所示），
∵OF=BF，FH⊥OB，
∴OH=BH=4，
∴F点的横坐标为4，
设F（4，y），将F（4，y）代入y=-2x+6，得：y=-2，
∴FH=|-2|=2，
则S_△OBF=

1

2

OB•FH=

1

2

×8×2=8；

（4）在Rt△AOE中，OE=x，OA=6，
根据勾股定理得：AE=

OE2+OA2

=

x2+36

，
又BE=OB-OE=8-x，S_△ABE=

1

2

AE•BF=

1

2

BE•AO（等积法），
∴BF=

BE•AO

AE

=

6(8-x)

x2+36

（0＜x＜8），又BF=y，
则y=

6(8-x)

x2+36

（0＜x＜8）．