Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴正半轴于点，与过点的直线相交于另一点，过点作轴，垂足为.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点在线段上（不与点、重合），过作轴，交直线于，交抛物线于点，连接，求面积的最大值；

（3）若是轴正半轴上的一动点，设的长为，是否存在，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）当m= 时， ；（3）当时，以点为顶点的四边形是平行四边形.

【解析】

试题分析：（1）把点，代入抛物线得方程组，解方程组求得a、b的值，即可求得抛物线的表达式；（2）求的直线AD的表达式，设 （0<m<3），利用m表示出MP和PC的长，再利用三角形的面积公式构建出面积和m的二次函数模型，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）点P在点C的左边和点P在点C的右边两种情况求解.

试题解析：

（1）把点，代入抛物线可得，

解得，

∴ ；

（2）∵,

∴A(0,1).

设直线AD的表达式为y=kx+b，

把A(0,1)，代入得，，

解得，，

∴

设 （0<m<3），

∴MP= ，

∵ ,

∴PC=,

∴ ，

∴二次函数的顶点坐标为（ ）

即当m= 时， ；

（3）存在.

①点P在点C的左边，

∵OP的长为t，设（0<t<3），则,，

∴MN= ，

∵MN=CD= ,

∴，

∵△=-39，

∴方程无解；

②点P在点C的右边，

OP的长为t，设（t>3），则,，

∴MN= ，

∵MN=CD= ,

∴，

解得（舍去），；

综上所述，当时，以点为顶点的四边形是平行四边形.