Question

【题目】已知:平行线与与与之间的距离分别为且，．我们把四个顶点分别在这四条平行线上的四边形称为“线上四边形”

（1）如图1，正方形为“线上四边形”，于点的延长线交直线于点．求正方形的边长．

（2）如图2，菱形为“线上四边形”且是等边三角形，点在直线上，连接且的延长线分别交直线于点．求证:．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见详解

【解析】

（1）利用AAS证明△ABE≌△BCF，即可求得AE和BE的长，然后利用勾股定理即可求解；

（2）先△ACE≌△ADF，然后利用全等的性质得到．

解：（1）如图1，

∵BE⊥l，l∥k，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
又四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2=90°，AB=BC，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF=2，
∵BE=d1+d2=2+3=5，
∴AB=，
∴正方形的边长是；

（2）如图，连接AC

∵四边形ABCD是菱形

∴CD=AD

∵

∴△ACD是等边三角形

∴AD=AC，∠CAD=60°

∵是等边三角形

∴AE=AF，∠EAF=60°

∵∠FAD=∠CAD-∠CAF =60°-∠CAF

∠EAC=∠EAF-∠CAF =60°-∠CAF

∴∠FAD=∠EAC

∴在△ACE和△ADF中，
，
∴△ACE≌△ADF（SAS），
∴．