练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，A点的坐标精英家教网为（3，0）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）设该抛物线的顶点为点D，经过C、D两点的直线与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
    分析：（1）由C（0，3）和A（3，0）在抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）上，利用待定系数法求解即可求得所求抛物线的解析式；
    （2）首先求得抛物线的顶点D的坐标，然后求得直线CD的解析式，即可求得点E的坐标，根据平行四边形的判定定理，即可求得点F的坐标；
    （3）分别从当直线MN在x轴上方时与当直线MN在x轴下方时去分析，设圆的半径为r，即可求得点N的坐标，将其代入函数解析式，即可求得答案．
    解答：精英家教网解：（1）∵C（0，3）和A（3，0）在抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）上，
    ∴
    c=3
    9a-6a+c=0
    ，
    解得
    a=-1
    c=3
    ．
    ∴所求抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

    （2）存在，点F的坐标为（2，3），
    理由：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
    ∴D（1，4）．
    设直线CD的解析式为y=mx+n，
    则
    n=3
    m+n=4
    ，
    解得
    m=1
    n=3
    ．
    ∴设直线CD的解析式为y=x+3．
    在y=x+3中，当y=0时，x=-3，
    ∴E（-3，0）．
    在y=-x2+2x+3中，当y=0时，x=-1或3，
    ∴B（-1，0），
    ∵以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
    ∴F点的坐标为（-2，3）或（2，3）或（-4，-3）．
    代入抛物线的解析式，只有（2，3）符合．
    ∴存在点F，坐标为（2，3）；
    精英家教网
    （3）①当直线MN在x轴上方时，
    设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，r），
    ∵N（r+1，r）在抛物线y=-x2+2x+3上，
    ∴-（r+1）2+2（r+1）+3=r，
    解得r1=
    -1+
    		17
    2
    ，r2=
    -1-
    		17
    2
    （不合，舍去），
    ②当直线MN在x轴下方时，
    设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，-R）．
    ∵N（R+1，-R）在抛物线y=-x2+2x+3上，
    ∴-（R+1）2+2（R+1）+3=-R．
    解得R1=
    1+
    		17
    2
    ，R2=
    1-
    		17
    2
    （不合，舍去），
    综合①②可知，圆半径的长度为
    -1+
    		17
    2
    或
    1+
    		17
    2
    ．
    点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定与性质，圆的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合与分类讨论思想的应用．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    8、如图，直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+c的图象在同一坐标系中可能是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P（-
    1
    2
    ，
    9
    8
    ），且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．
    （1）求a值；
    （2）设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
    （3）设A，B两点的横坐标分别记为xA，xB，若在x轴上有一动点Q（x，0），且xA≤x≤xB，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D精英家教网两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线y=-ax2+ax+6a交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴正半轴于点D，精英家教网O为坐标原点，抛物线上一点C的横坐标为1．
    （1）求A，B两点的坐标；
    （2）求证：四边形ABCD的等腰梯形；
    （3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上，矩形面积为12，
    （1）求该抛物线的对称轴；
    （2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
    （3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线y=ax2+ax+c与y轴交于点C（0，-2），精英家教网与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON=2OM，分别连接MC、MN．当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标；
    （3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与线段AC交于点F，点D的坐标为（-1，0）．问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案