Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（7，0），点B的坐标为（3，4），

（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）将线段AB绕A点顺时针旋转75°至AC，直接写出点C的坐标.
（3）在y轴上找一点P，第一象限找一点Q，使得以O、B、Q、P为顶点的四边形是菱形，求出点Q的坐标；
（4）△OAB的边OB上有一动点M，过M作MN//OA交AB于N，将△BMN沿MN翻折得△DMN，设MN=x，△DMN与△OAB重叠部分的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并求出重叠部分面积的最大值.

Answer 1

（1）；（2）C；（3）（3，9）和（）；
（4）函数关系式为，当时，y最大且最大值为．

试题分析：（1）由点O（0，0）、A（7，0）、B（3，4）运用待定系数法求解即可；
（2）根据旋转的性质C结合图象特征求解即可；
（3）过B作BE⊥OA于E，则BE＝4，OE＝3．如图Ⅰ，分①若OB、OP为菱形一组邻边时，②若BO、BP为一组邻边时，③若OP、BP为一组邻边时，根据菱形的性质及勾股定理求解即可；
（4）依题得△OBA面积为28，当MN＝＝时，点D刚好在OA上，分①当0＜x≤时，②当＜x＜5时，根据相似三角形的性质及二次函数的性质求解即可.
（1）运用待定系数法，由点O（0，0）、A（7，0）、B（3，4）求得所以抛物线为；
（2）C；
（3）过B作BE⊥OA于E，则BE＝4，OE＝3．

如图Ⅰ，①若OB、OP为菱形一组邻边时，当P1在y轴正半轴时，BQ₁∥y轴且BQ₁＝OB＝5，则Q₁为（3，9）；若P在y轴负半轴时，同理求得Q点为(3，－1)，但不在第一象限，不予考虑；②若BO、BP为一组邻边时，相应的点Q在第二象限，不予考虑；③若OP、BP为一组邻边时，则BQ₂∥y轴，Q₂在BE上，设BQ₂＝m，则OQ₂＝m，EQ₂＝4－m，由Rt△OCQ₂列方程，解得，求得Q₂为（）；综上所述满足条件的Q点有（3，9）和（）；
（4）依题得△OBA面积为28，当MN＝＝时，点D刚好在OA上，所以分两种情况考虑：
①当0＜x≤时，△DMN≌△BMN，△BMN∽△BOA，而，计算得；
当时，y最大且最大值为．
②当＜x＜5时，连结BD交MN于F、交OA于G，DM交OA于H，DN交OA于I，

由△BMN∽△BOA求得DF＝BF＝，FG＝4－，DG＝DF－FG＝，
再由△DHI∽△DMN得，计算得HI＝，
＝，
配方得；当时，y最大且最大值为．
综上所述，函数关系式为，当时，y最大且最大值为．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．