Question

【题目】矩形中，点分别在边上，点分别在边上，与交于点，记．

（1）如图1，当时，若，求的值；

（2）如图2，当时，求的最大值和最小值；

（3）若的值为3，当与重合且为直角三角形时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）当的长取最大时，取最短，此时最大，最大值为；当的最短时，的值取最大，此时的值最小，最小值为；（3）为或

【解析】

（1）作于于，设交于点交于点，易证，得，进而即可求解；

（2）设，则，可得MN最短为，最长为，EF最短为，最长为，进而即可得到结论；

（3）当与重合且为直角三角形时，分两种情况：①∠DFO=90°时，②当∠DOF=90°时，分别求解，即可．

（1）作于于，设交于点交于点，则，

四边形是矩形，

，

，

，

又，

，

又，

，

又，

，

，

又，

；

（2），

∴设，则，

时，MN最短为与对角线重合时,MN最长为，

时，EF最短为与对角线重合时，EF最长为，

，

当的长取最大时，取最短，此时最大，最大值为，

当的最短时，的值取最大，此时的值最小，最小值为

即的最大值为，最小值为；

（3）∵=3，

∴设EF=a，则MN=3a，

当与重合且为直角三角形时，分两种情况：

①∠DFO=90°时，AB=CD=EF=a，BD=MN=3a，

∴BC=，

∴=a：=；

②当∠DOF=90°时，过点F作FG⊥BC于点G，

∴∠EFG+∠FEG=∠DBC+∠FEG，

∴∠EFG=∠DBC，

∵∠FGE=∠BCD=90°，

∴FGE~BCD，

∴，

∵FG=AB，

∴=，

综上所述：为或．