Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c与直线y＝x+交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线y＝x+与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在直线y＝x+下方，求△PAC的最大面积；

（3）设M是抛物线对称轴上的一点，以点A、B、P、M为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣；（2）；（3）点P的坐标为：（6，）或（﹣4，）或（2，﹣）．

【解析】

（1）由直线y＝x+与x、y轴的交点分别为A、C，得出点A的坐标，将x=4代入直线y＝x+中求出y值，即可得出点B坐标，由点A、B两点的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点P作y轴的平行线交AB于点H，设出P点坐标，表示出H的坐标，利用分割图形法求面积找出S△PAC关于x的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）假设能，分线段AB为对角线和边两种情况来考虑，根据平移的性质和中点公式求出P点的横坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出点P的坐标．

解：（1）y＝x+，令y＝0，则x＝﹣1，故点A（﹣1，0），

∵B的横坐标是4，则点B（4，2），

将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣；

（2）过点P作y轴的平行线交AB于点H，

设点P（x，x2﹣x﹣），则点H（x，x+）

则△PAC面积S＝S△PHA﹣S△PHC＝PH（xC﹣xA）

＝×（x+﹣x2+x+）

＝﹣ x2+x+，

∵＜0，故S有最大值，

当x＝时，S的最大值为：；

（3）能，理由：

设点P的坐标为：（m，n），点M（1，s），而点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，2），

①当AB是边时，

点A向右平移5个单位、向上平移2个单位得到B，

同样，点P（M）向右平移5个单位、向上平移2个单位得到M（P），

即1+5＝m或1﹣5＝m，

解得：m＝6或﹣4，则n＝，

故点P（6，）或（﹣4，）；

②当AB是对角线时，

由中点公式得：m+1＝4﹣1，

解得：m＝2，故点P（2，﹣）；

综上，点P的坐标为：（6，）或（﹣4，）或（2，﹣）．