Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，sin∠BAC=

3

5

，P是边AC上一点，过点P作PD⊥AC，过点A作AD∥BC，交PD于点D，连接并延长DC，交边AB的延长线于点E．设A、P两点的距离为x，B、E两点的距离为y．
（1）求BC的长度；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△ACD是等腰三角形时，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）根据sin∠BAC=

BC

AC

=

3

5

，设BC=3x，AC=5x，由勾股定理建立方程求出其解就可以求出BC的值；
（2）在Rt△ABC中由勾股定理可以求出AC的值，就可以求出x的取值范围，由AD∥BC可以得出△BEC∽△AED，就有

BE

AE

=

BC

AD

，由条件可以得出∠ADP=∠CAB，根据三角函数值就可以求出结论；
（3）通过分类讨论，当AD=DC时，当AD=AC时，当AC=CD时，根据等腰三角形的性质就可以求出AP对应的值，然后代入（2）的解析式就可以BE的值．

解答：解：（1）∵，∠ABC=90°，sin∠BAC=

3

5

，
∴

BC

AC

=

3

5

．
∵AB=4，设BC=3x，AC=5x，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
25x²-9x²=16，
解得：x=1，
BC=3，AC=5，
答：BC=3；
（2）∵AD∥BC，
∴△BEC∽△AED，∠DAB=∠CBE=∠ABC=90°．
∴

BE

AE

=

BC

AD

，∠DAP+∠CAB=90°．
∵PD⊥AC，
∴∠APD=90°，
∴∠ADP+∠DAP=90°．
∴∠ADP=∠CAB．
sin∠ADP=

AP

AD

=sin∠BAC=

3

5

AD=

5

3

AP．
∵AP=x，BE=y，
∴AE=4+y，
∴

y

4+y

=

3

5 3 x

，
y=

36

5x-9

．
∵y＞0，
∴5x-9＞0，
∴x＞

9

5

∵P是边AC上一点，且AC=5，
∴

9

5

＜x≤5；
（3）如图1，当AD=DC时
AP=

1

2

AC=

5

2

，
∴BE=

36

5× 5 2 -9

，
∴BE=

72

7

；
如图1，当AD=AC时
AP=3，AD=AC=5
BE=

36

5×3-9

=6；
如图2，当AC=CD时，作CF⊥AD于F，
∴AD=2AF，∠AFC=90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴AF=BC=3，
∴AD=6．
∵

AP

AD

=

3

5

，
∴

AP

6

=

3

5

，
∴AP=

18

5

．
∴BE=

36

5× 18 5 -9

=4；
综上所述：BE的长为：

72

7

，6，4．

点评：本题考查了三角函数值的运用，直角三角形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，在解答第二问时证明三角形相似是关键，解答第三问灵活运用等腰三角形的性质是关键．