Question

已知：在坐标平面内A（0，0）、B（12，0）、C（12，6）、D（0，6），点Q、P分别沿DA、AB从D、A向A、B以1单位/秒，2单位/秒的速度移动，同时出发，t表示移动时间（0≤t≤6）．
（1）写出△PQA的面积S与t的函数关系式．
（2）四边形APCQ的面积与t有关吗？说明理由．
（3）t等于多少时，△APQ为轴对称图形．
（4）PQ能否与AC垂直？若能，求出直线PQ的解析式；若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AP=2t，DQ=t，
∴AQ=AD-DQ=6-t，
∴S_△APQ=AP•AQ=•2t（6-t）=-t²+6t，
∴S=-t²+6t；

（2）连接AC．
∵S_{四边形APCQ}=S_△AQC+S_△APC=（6-t）•12+•2t•6=36，
∴四边形APGQ的面积与t无关；

（3）当且仅当AQ=AP，即6-t=2t，t=2时，△AQP是等腰直角三角形，从而是轴对称图形．
故当t=2时，△APQ为轴对称图形；

（4）假设PQ⊥AC，则∠CAB=∠PQA=90°-∠APQ，
又∵∠ABC=∠QAP=90°，
∴△ABC∽△QAP，
∴AB：QA=BC：AP，
∴=，
解得t=．
∴AP=2t=，AQ=6-t=．
设直线PQ的解析式为y=kx+b，
∵P（，0）、Q（0，）在此直线上，
∴，
解得．
∴直线PQ的解析式为．
分析：（1）根据A，B，C，D四点的坐标可知：四边形ABCD是个矩形，可根据P，Q的速度用时间t表示出AQ，AP的长，进而用三角形的面积公式得出S与t的函数关系式；
（2）连接AC，四边形APCQ的面积可以分成△AQC和△APC两部分，S_△AQC=（6-t）•12=36-6t，S_△APC=•2t•6=6t，因此四边形APCQ的面积等于36与t的大小没有关系；
（3）要使△APQ为轴对称图形，只有一种情况即AP=AQ时，△APQ为等腰直角三角形，那么AP=AQ，即6-t=2t，因此t=3．此时等腰直角三角形的对称轴正好是第一象限的角平分线即y=x；
（4）假设PQ⊥AC，根据两角对应相等，两三角形相似，证出△ABC∽△QAP，由相似三角形对应边成比例列出比例式，如果能够求出符合题意的t值，说明PQ能与AC垂直，从而运用待定系数法求出直线PQ的解析式；如果不能够求出符合题意的t值，说明PQ不能与AC垂直．
点评：本题考查了矩形的性质、图形面积的求法、轴对称图形、相似三角形的判定与性质及待定系数法求一次函数的解析式等知识，综合性较强，有一定难度．