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    己知：二次函数y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点A、点B的横坐标是一元二次方程x2－4x－12＝0的两个根．

    (1)请直接写出点A、点B的坐标．

    (2)请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．

    (3)如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    (4)如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点(点Q不与点0、B重合)．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标(m，0)，当△CDQ面积S最大时，求m的值．

    答案：
    解析：

    　　分析：(1)解一元二次方程x2－4x－12＝0可求A、B两点坐标；

    　　(2)将A、B两点坐标代入二次函数y＝ax2＋bx＋6，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标；

    　　(3)作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接A，交抛物线对称轴于P点，连接CP，P点即为所求；

    　　(4)由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S△CDQ＝S△ABC－S△BDQ－S△ACQ，运用二次函数的性质求面积最大时，m的值．

    　　解答：解：(1)A(－2，0)，B(6，0)；

    　　(2)将A、B两点坐标代入二次函数y＝ax2＋bx＋6，得

    　　，

    　　解得，

    　　∴y＝－x2＋2x＋6，

    　　∵y＝－(x－2)2＋8，

    　　∴抛物线对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，8)；

    　　(3)如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接A，交抛物线对称轴于P点，连接CP，

    　　∵C(0，6)，

    　　∴(4，6)，设直线A解析式为y＝ax＋b，则

    　　，

    　　解得，

    　　∴y＝x＋2，当x＝2时，y＝4，

    　　即P(2，4)；

    　　(4)依题意，得AB＝8，QB＝6－m，AQ＝m＋2，OC＝6，则S△ABC＝AB×OC＝24，

    　　∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，

    　　∴＝()2＝()2，

    　　即S△BDQ＝(m－6)2，

    　　又S△ACQ＝AQ×OC＝3m＋6，

    　　∴S＝S△ABC－S△BDQ－S△ACQ＝24－(m－6)2－(3m＋6)＝－m2＋m＋＝－(m－2)2＋6，

    　　∴当m＝2时，S最大．

    　　点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，相似三角形的知识解题．


    提示：

    考点：二次函数综合题．


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