Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=6，∠ABC=120°，∠ACB=45°，连接OB交AC于点E．
（1）求AC的长．
（2）求CE：EA的值．
（3）在CB的延长线上取一点P，使CB=BP，求证：直线PA与⊙O相切．

Answer 1

解：（1）∵∠ABC=120°，∴∠D=60°．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．
∵AD=6，∴AC=AD•sin60°=6×=3．

（2）∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°．
∴EA==2．∴CE=AC-AE=．
∴CE：EA=：2=1：2．

（3）证明：∵=，=，
∴=．
∴BE∥AP．
∵∠AOB=90°，
∴PA⊥OA．
∴直线PA与⊙O相切．
分析：（1）利用圆周角定理和“圆内接四边形的对角互补”的性质推知△ACD是直角三角形，且∠D=60°，所以通过解该直角三角形来求AC的长度即可；
（2）利用圆周角定理推知∠AOB=90°．所以在Rt△AOB中求得EA=2．结合（1）中AC=3即可求得CE的值；
（3）欲证直线PA与⊙O相切，只需证明AD⊥AP即可．
点评：本题综合考查了圆周角定理，切线的判定与性质以及解直角三角形．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．