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    已知：如图1，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为Q，与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点．
    （1）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；
    （2）在该抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小．请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标；
    （3）如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE⊥x轴，垂足为E．
    ①有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D-E-O的长度最长”．这个同学的说法正确吗？请说明理由．
    ②若DE与直线BC交于点F．试探究：四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由；

    解：（1）将A（-1，0）、B（5，0）分别代入y=-x2+bx+c中，
    得，得∴y=-x2+4x+5．
    ∵y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，∴Q（2，9）．
    （2）如图1，连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．
    ∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小．
    ∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（5，0），抛物线y=-x2+4x+5与y轴交点C的坐标为（0，5）．
    ∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小．
    设直线BC的解析式为y=kx+5，将B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，
    ∴y=-x+5，∴当x=2时，y=3，∴点P的坐标为（2，3）．
    （3）①这个同学的说法不正确．
    ∵设D（t，-t2+4t+5），设折线D-E-O的长度为L，则，
    ∵a＜0，∴当时，．
    而当点D与Q重合时，，
    ∴该该同学的说法不正确．
    ②四边形DCEB不能为平行四边形．
    如图2，若四边形DCEB为平行四边形，则EF=DF，CF=BF．
    ∵DE∥y轴，∴，即OE=BE=2.5．
    当xF=2.5时，yF=-2.5+5=2.5，即EF=2.5；
    当xD=2.5时，，即DE=8.75．
    ∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25＞2.5．即DF＞EF，这与EF=DF相矛盾，
    ∴四边形DCEB不能为平行四边形．
    分析：（1）将A（-1，0）、B（5，0）分别代入y=-x2+bx+c中即可确定b、c的值，然后配方后即可确定其顶点坐标；
    （2）连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．求得C点的坐标后然后确定直线BC的解析式，最后求得其与x=1与直线BC的交点坐标即为点P的坐标；
    （3）①设D（t，-t2+4t+5），设折线D-E-O的长度为L，求得L的最大值后与当点D与Q重合时相比较即可得到答案；
    ②假设四边形DCEB为平行四边形，则可得到EF=DF，CF=BF．然后根据DE∥y轴求得DF，得到DF＞EF，这与EF=DF相矛盾，从而否定是平行四边形．
    点评：本题考查了二次函数的综合知识，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点的确定方法及有关的几何知识．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图1，抛物线y=ax2+bx过点A（6，3），且对称轴为直线x=
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    ．点B为直线OA下方的抛物线上一动点，点B的横坐标为m．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）若△OAB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
    （3）如图2，过点B作直线BC∥y轴，交线段OA于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•大安市模拟）已知：如图1，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为Q，与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点．
    （1）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；
    （2）在该抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小．请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标；
    （3）如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE⊥x轴，垂足为E．
    ①有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D-E-O的长度最长”．这个同学的说法正确吗？请说明理由．
    ②若DE与直线BC交于点F．试探究：四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由；

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•鄂州）已知：如图一，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=x-2经过A、C两点，且AB=2．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；设s=
    ED+OPED•OP
    ，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值．
    （3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图1，抛物线C1：y=
    1
    3
    (x-m)2+n    （m＞0）的顶点为A，与y轴相交于点B，抛物线C2：y=-
    1
    3
    (x+m)2-n    的顶点为C，并与y轴相交于点D，其中点A、B、C、D中的任意三点都不在同一条直线
    （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
    （2）如图2，若抛物线y=
    1
    3
    (x-m)2+n     （m＞0）的顶点A落在x轴上时，四边形ABCD恰好是正方形，请你确定m，n的值；
    （3）是否存在m，n的值，使四边形ABCD是邻边之比为1：
    		3
     的矩形？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•宝安区二模）已知：如图1，抛物线经过点O、A、B三点，四边形OABC是直角梯形，其中点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．
    （1）求抛物线所对应的函数关系式；
    （2）若D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．几秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1﹕3两部分？并求出此时P点的坐标；
    （3）如图2，作△OBC的外接圆O′，点Q是抛物线上点A、B之间的动点，连接OQ交⊙O′于点M，交AB于点N．当∠BOQ=45°时，求线段MN的长．

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