Question

如图，直线y=-

1

2

x+4交x轴A，交y轴于B，M为OA上一点，⊙M经过B、A两点，交x轴负半轴于一点C，交y轴的负半轴于一点D．
（1）求M的坐标．
（2）BM的延长线交⊙M于E，直线BA绕B点顺时针旋转经过△OBM的内心I时交AE的延长线于K，求线段AK的长．
（3）分别过A、B两点作⊙M的切线相交于点P，过AB两点的动圆⊙N交PB的延长线于G，交y轴的负半轴于H．有两个结论：①BH+BG的值不变，②BH-BG的值不变．其中只有一个是正确的．请作出判断，并求其值．

Answer 1

分析：（1）首先求得A、B的坐标，则M是线段AB的中垂线与x轴的交点，求得AB的垂直平分线的解析式，然后求得与x轴的交点即可；
（2）根据内心的定义以及等腰三角形的性质，和等角对等边可以证得：△BAK是等腰直角三角形，根据勾股定理求得AB，即可求得AK的长；
（3）过A作AF⊥PG于F，连接AG，AH，可以证得：△AOB≌△AFB，且Rt△FGA≌Rt△AOH，则BH-BG=（BO+OH）-BG=BO+FG-BG=BO+FB，从而证得结论．

解答：解：（1）直线y=-与x轴．y轴交点分别是A（8，0），B（0，4）．
∵⊙M过A、B两点，
∴M必在AB的垂直平分线上．
∴M所在直线的斜率就是2，且过点（4，2）（该点就是AB的中点坐标）
∴M所在直线的方程就是y=2x-6
∵M在OA上，即M在x轴上
∴M（3，0）
（2）I是△OBM内心∴∠OBK=∠KBE
∵AB是⊙M的弦
∴MA=MB
∴∠MAB=∠MBA
∵∠OBK+∠KBE+∠MAB+∠MBA=90°
∴∠KBE+∠MBA=45°
∵BE是⊙M的直径
∴∠BAK=90°
∴∠K=45°
∴△BAK是等腰Rt△
∴AK=AB
AB=

82+42

=4

5

，
∴AK=4

5

；
（3）过A作AF⊥PG于F，连接AG，AH
A（8，0），B（0，4）．
设P（8，y）
∵AP∥OB，AP=BP
∴∠PBA=∠ABO．
∴OA=OF，
在Rt△AOB和Rt△AFB中

AB=AB AP=AF

，
∴△AOB≌△AFB（HL），
∴BO=BF
又在Rt△FGA和Rt△AOH中

∠FGA=∠OHA AF=AO

∴Rt△FGA≌Rt△AOH
∴FG=HO
∴BH-BG=（BO+OH）-BG=BO+FG-BG=BO+FB=8．

点评：本题是一次函数、圆、圆的内心、以及点到直线的距离的综合应用，正确证明：△AOB≌△AFB，且Rt△FGA≌Rt△AOH是解题的关键．