Question

（2012•徐汇区一模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DF∥BE，

AF

FE

=

AE

CE

．
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果

AF

FE

=

2

3

，S_△ADF=2，求S_△ABC的值．

Answer 1

分析：（1）由DF∥BE得比例，结合已知比例，利用过渡比得出

AD

DB

=

AE

CE

，证明结论；
（2）△ADF与△DEF等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，求△DEF的面积，得出△ADE的面积，
再由DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．

解答：（1）证明：∵DF∥BE，
∴

AD

DB

=

AF

FE

．…（2分）
∵

AF

FE

=

AE

CE

，
∴

AD

DB

=

AE

CE

…（2分）
∴DE∥BC．…（1分）

（2）解：∵

AF

FE

=

2

3

，∴

AE

CE

=

2

3

，∴

AE

AC

=

2

5

．…（1分）
设△ADE中边AE上的高为h．
∴

S△ADF

S△DEF

=

1 2 AF•h

1 2 EF•h

=

AF

EF

=

2

3

，∴S△DEF=

3

2

×2=3．
∴S_△ADE=2+3=5．…（1分）
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．…（1分）
∴

S△ADE

S△ABC

=(

AE

AC

)2=(

2

5

)2．…（1分）
∴S△ABC=

125

4

．…（1分）

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例．关键是利用平行线得出相似三角形及比例，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题．