Question

在平面直角坐标系O中，过原点O及点A(0，2) 、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒.

（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；

（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；

（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为（）.问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

 解：（1）∵矩形OABC，  ∴∠AOC=∠OAB=90°

∵OD平分∠AOC      ∴∠AOD=∠DOQ=45°……………………………………1分   

∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°   ∴AO=AD=2， OD=  ……2分 

      ∴……………………………3分

（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°.

解法1：如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，

∵∠POQ =45°，∴ ∠OPG =45°  ∵OP=，∴OG=PG=t,  

∴点P(t，,t)  

又∵Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得:

 ，，………4分

①若∠PQB=90°，则有,                    

即：，

整理得：，解得（舍去），

∴                                          ………6分

②若∠PBQ=90°，则有,        

∴，      

整理得，解得.

∴当t=2或或时，△PQB为直角三角形. .… 8分

解法2：①如图2，当∠PQB=90°时，

易知∠OPQ=90°，∴BQ∥OD ∴∠BQC=∠POQ=45° 

可得QC=BC=2   ∴OQ=4  ∴2t=4     ∴t=2 ……………5分

②如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC上，

作PN⊥x轴于点N，交AB于点M，

则易证∠PBM=∠CBQ∴△PMB∽△QCB

∴，∴，∴，  化简得，

解得      ……… 6分∴        ………………… 7分

③如图4，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC的延长线上，

作PN⊥x轴于点N，交AB延长线于点M，

则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC   ∴△PMB∽△QCB

∴，∴，

∴，化简得，

解得    ∴ ……………… 8分

（3）存在这样的t值，理由如下：将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形为平行四边形.                                    ………………9分

∵PO=PQ ，由P（t,t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（）………………10分

∵点B坐标为（6,2），  ∴点的坐标为（3t-6,t-2），                 .………………11分

代入，得： ，解得        ……12分

（另解：第二种情况也可以直接由下面方法求解：当点P与点D重合时，PB=4，OQ=4，又PB ∥OQ，∴四边形为平行四边形，此时绕PQ中点旋转180°，点B的对应点恰好落在O处，点即点O.由（1）知，此时t=2.    （说明：解得此t值，可得2分.）