Question

正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是射线AB上一点，点F是直线AD上一点，BE=DF，连接EF交线段BD于点G，交AO于点H．若AB=3，AG=，则线段EH的长为　 　．

Answer 1

或

试题分析：由EF与线段BD相交，可知点E、F位于直线BD的两侧，因此有两种情形：
①点E在线段AB上，点F在线段AD延长线上，依题意画出图形，如图所示：

过点E作EM⊥AB，交BD于点M，则EM∥AF，△BEM为等腰直角三角形，
∵EM∥AF，∴∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F。
∵△BEM为等腰直角三角形，∴EM=BE。
∵BE=DF，∴EM=DF。
∵在△EMG与△FDG中，EM=DF，∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F，
∴△EMG≌△FDG（ASA）。
∴EG=FG，即G为EF的中点。
∴EF=2AG=2（直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半）。
设BE=DF=x，则AE=3﹣x，AF=3+x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²+AF²=EF²，即（3﹣x）²+（3+x）²=（2）²。
解得x=1，即BE=DF=1。∴AE=2，AF=4。∴tan∠F=。
设EF与CD交于点K，则在Rt△DFK中，DK=DF•tan∠F=，
∴CK=CD﹣DK=。
∵AB∥CD，∴△AEH≌△CKH，∴。
∵AC=AH+CH=3，∴AH=AC=。
过点H作HN∥AE，交AD于点N，则△ANH为等腰直角三角形，
∴AN=AH=。
∵HN∥AE，∴，即。∴EH=。
②点E在线段AB的延长线上，点F在线段AD上，依题意画出图形，如图所示，

同理可求得：EH=。
综上所述，线段EH的长为或。