Question

如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上（不与A、D重合），MN为折痕，折叠后B′C′与DN交于P．
（1）P判断△MAB′与△NC′P是否相似？并说明理由；
（2）当B落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC′B′面积最小，并求此时两纸片重叠部分的面积．

Answer 1

分析：（1）求两三角形相似，只需证明其中的两个对应角相等即可；
（2）先求出梯形MNC′B′面积最小时，点B的位置，两纸片重叠部分的面积即是梯形MNC′B′的面积减去三角形NPC'的面积．

解答：解：（1）△MAB′与△NC′P相似，
其理由如下：∵∠NC′P=∠B′AM=90°，
又∵∠B′PD+∠PB′D=90°，∠DB′P+∠MB′A=90°，
∴∠MB′A=∠B′PD，
又由∠NPC′=∠B′PD，
∴∠MB′A=∠NPC′，
∴△MAB′∽△NC′P．

（2）如图，过N作NR⊥AB与R，
则RN=BC=1，
连BB′，交MN于Q．则由折叠知，
△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，即△MBQ≌△MB′Q，
有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．
∵∠A=∠MQB，
∴△MQB∽△B′AB，
∴

AB′

MQ

=

AB

BQ

=

BB′

MB

．
设AB′=x，则BB′²=1+x²，BQ=

1

2

1+x2

，代入上式得：
BM=B'M=

1

2

(1+x2)．
在Rt△MRN和Rt△B′AB中，
∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，
∴∠MNR=∠ABB′，
∵AB=BC，BC=RN，
∴AB=RN，
∴Rt△MRN≌Rt△B′AB，
∴MR=AB′=x．
故C'N=CN=BR=MB-MR=

1

2

(1+x2)-x=

1

2

（x-1）²．
∴S_{梯形MNC′B′}=

1

2

[

1

2

（x-1）²+

1

2

（x²+1）]×1=

1

2

（x²-x+1）=

1

2

（x-

1

2

）²+

3

8

，
得当x=

1

2

时，即B落在AD的中点处时，梯形面积最小，其最小值

3

8

．
此时，C′N=

1

8

，BM=

5

8

，AM=

3

8

，
由（1）得

S△NPC′

S△MB′A

=(

NC′

AM

)2=(

1

3

)2=

1

9

；
故S_△NPC′=

1

9

×S_△AMB′=

1

9

×(

1

2

×

1

2

×

3

8

）=

1

96

，
所以两纸片重叠部分的面积为：
S_梯形MB'C'N-S_△NPC′=

3

8

-

1

96

=

35

96

．

点评：本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合题，有一定的难度，这要求学生要熟练掌握各部分知识，才能顺利解答这类题目．