Question

如图，在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=2,圆A的半径1，点O在BC边上运动（与点B/C不重合），设BO=X,△AOC的面积是y.
⑴求y关于x的函数关系式及自变量的取值范围；
⑵以点O位圆心，BO为半径作圆O，求当○O与○A相切时，△AOC的面积.

Answer 1

（1）∵∠BAC=90°，AB="AC=2" ，
由勾股定理知BC==4，且∠B=∠C，
作AM⊥BC，
则∠BAM=45°，BM=CM=2=AM，
∵BO=x，则OC=4﹣x，
∴S_△AOC=OC•AM=×（4﹣x）×2=4﹣x，
即y=4﹣x （0＜x＜4）；
（2）①作AD⊥BC于点D，

∵△ABC为等腰直角三角形，BC=4，
∴AD为BC边上的中线，
∴AD==2，
∴S_△AOC=，
∵BO=x，△AOC的面积为y，
∴y=4﹣x（0＜x＜4），
②过O点作OE⊥AB交AB于E，

∵⊙A的半径为1，OB=x，
当两圆外切时，
∴OA=1+x，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴BE=OE=，
∴在△AEO中，AO²=AE²+OE²=（AB﹣BE）²+OE²，
∴（1+x）²=（2﹣）²+（）²，
∴x=，
∵△AOC面积=y=4﹣x，
∴△AOC面积=；
当两圆内切时，

∴OA=x﹣1，
∵AO²=AE²+OE²=（AB﹣BE）²+OE²，
∴（x﹣1）²=（2﹣）²+（）²，
∴x=，
∴△AOC面积=y=4﹣x=4﹣=，
∴△AOC面积为或．

（1）由∠BAC=90°，AB="AC=2" ，根据勾股定理即可求得BC，且∠B=∠C，然后作AM⊥BC，由S_△AOC=OC•AM，即可求得y关于x的函数解析式；
（2）由⊙O与⊙A外切或内切，即可求得ON的值，继而求得△AOC的面积．