Question

如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高，垂足为F；
（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？
（4）过点E作EG∥BC，连接EC、DG且相交于点O，若S_△ABC=a，S_△COD=b，求S_△GOC．（用含a、b的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；
（2）根据三角形高线的定义，过点E作BD边上的垂线段即可；
（3）根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，求出△BDE的面积为10，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（4）先判定EG是△ACD的中位线，根据三角形的中位线定理可得EG=

1

2

CD，再根据平行线分线段成比例定理求出OG：OD的比值，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．

解答：解：（1）∵∠ABE=15°，∠BAD=40°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°；

（2）如图，EF即为△BED边BD上的高线；

（3）∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
∴S_△ABD=

1

2

S_△ABC，S_△BDE=

1

2

S_△ABD，
∴S_△BDE=

1

2

×

1

2

S_△ABC=

1

4

S_△ABC，
∵△ABC的面积为40，
∴S_△BDE=

1

4

×40=10，
∵BD=5，
∴

1

2

×5•EF=10，
解得EF=4；

（4）∵BE为△ABD的中线，
∴点E是AD的中点，
∵过点E作EG∥BC，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG=

1

2

CD，
∵EG∥BC，
∴

OG

OD

=

EG

CD

=

1

2

，
∵S_△COD=b，
∴S_△GOC=

1

2

b．

点评：本题考查了三角形的中线、高线，以及三角形的面积熟练掌握并利用等底等高的三角形的面积相等与等高的三角形的面积的比等于底边的比是解题的关键．