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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t（s）．当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标．
    分析：若△APQ与△AOB相似，则因为A与A对应，所以只有两种情况，P与O对应或者P与B对应．
    解答：精英家教网解：若△APQ与△AOB相似，有两种情况．
    ∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
    ∴AB=10．设Q点的坐标是（x，y）．
    （1）当P与O对应时，△APQ∽△AOB，
    AP
    AO
    =
    AQ
    AB
    ，
    t
    6
    =
    10-2t
    10
    ，即t=
    30
    11
    s，
    ∴AP=
    30
    11
    ，
    ∴OP=0A-AP=
    36
    11
    ．
    ∴BQ=
    60
    11
    ，
    ∴x=OB-BQ•cosB=8-
    60
    11
    ×
    8
    10
    =
    40
    11
    ，
    过Q作QC⊥OB于C，
    y=QC=QBsinB=
    36
    11
    ，
    P（0，
    36
    11
    ），Q（
    40
    11
    ，
    36
    11
    ）

    （2）当P与O对应时，△APQ∽△AOB，
    ∴
    AP
    AO
    =
    AQ
    AB
    ，即
    t
    6
    =
    10-2t
    10
    ，
    解得：t=
    30
    11
    ，
    ∴AP=
    30
    11
    ，OP=OA-AP=
    36
    11
    ，
    ∴BQ=
    60
    11
    ，
    ∴x=OB-BQ•cosB=8-
    60
    11
    ×
    8
    10
    =
    40
    11
    ，y=QBsinB=
    60
    11
    ×
    6
    10
    =
    36
    11
    ．
    所以P（0，
    36
    11
    ），Q（
    40
    11
    ，
    36
    11
    ），
    当P与B对应时，△APQ∽△ABO，
    ∴
    AP
    AB
    =
    AQ
    AO
    ，即
    t
    10
    =
    10-2t
    6
    ，
    解得：t=
    50
    13
    ，
    ∴AP=
    50
    13
    ，OP=OA-AP=
    28
    13
    ．
    ∴BQ=
    100
    13
    ，
    ∴x=OB-BQ•cosB=8-
    100
    13
    ×
    8
    10
    =
    24
    13
    ，y=QBsinB=
    100
    13
    ×
    6
    10
    =
    60
    13
    ．
    所以P（0，
    28
    13
    ）Q（
    24
    13
    ，
    60
    13
    ），
    综上，P（0，
    36
    11
    ），Q（
    40
    11
    ，
    36
    11
    ）或者P（0，
    28
    13
    ）Q（
    24
    13
    ，
    60
    13
    ）．
    点评：判断△APQ与△AOB相似有两种情况是做本题的关键．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
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    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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