Question

【题目】如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形．．反比例函数在第一象限内的图象经过点A，交BC的中点F．且 ．

（1）求k值和点C的坐标；

（2）过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）k=12，；（2）存在，，，，

【解析】

（1）先过点A作AH⊥OB，设OA=a，根据，表示 出AH和OH的值，求出S△AOH的值，根据S△AOF=9，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=，根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BMFM，S△FOM=+a2，再根据点A，F都在的图象上，S△AOH=k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OBAH，得出OB=AC=，即可求出点C的坐标；

（2）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可．

（1）过点作于，设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于点N，

由平行四边形性质可证得OH=BN，

，

，

为的中点

，

，

点，都在的图象上

，

，，

，

∴ON=OB+OH=

（2）存在三种情况．

∵EF∥OB，

∴点P的纵坐标为：2，

设点P（x，2），

∴，，

当∠APO=90°时，则PA2+OP2=OA2，

即+=25，

解得：x1=4，x2=-1，，

∴，；

当∠PAO=90°时，PA2+OA2=OP2，

即+25=

解得，x=，

∴，

当∠POA=90°时，OP2+OA2=PA2，

即+25=，

解得：x=-，

∴．

综上可得：点P的坐标为：，，，．