Question

【题目】如图，半圆O的半径OA＝4，P是OA延长线上一点，线段OP的垂直平分线分别交OP、半圆O于B、C两点，射线PC交半圆O于点D．设PA＝x，CD＝y，则能表示y与x的函数关系的图象是（ ）

A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设AO与半圆O的另一个交点为点E，
如图1，由题意可知，线段OP的垂直平分线交半圆O于点C，且PC与半圆O相切时，点C与点D重合，

图1
此时，∵PC与半圆O相切，PCOC，且BC是OP的垂直平分线，
∴△ PCO是等腰直角三角形，∴PO=，
∴PA=-4，
分 0<x<-4 和 -4<x<4 以下两种情况：
①当0<x<-4时，如图2：

图2
∵OA＝4，PA＝x，CD＝y，
∴根据切割线定理的推论及垂直平分线性质（PC=OC）得：PAPE=PDPC，即x（x+8）=（4-y）4，解得：y=x2-2x+4（0<x<-4）.
②当-4<x<4时，如图3：

图3
∵OA＝4，PA＝x，CD＝y，
∴根据切割线定理的推论及垂直平分线性质（PC=OC）得：PAPE=PCPD，即x（x+8）=4（4+y），解得：y=x2+2x-4（-4<x<4）.
③当x4时，显然不成立.
综上，可知对应函数图像应为选项A.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点才能正确解答此题．