Question

如图二次函数y=

1

2

x2-2x+4的图象交y轴于点A，顶点为点B．
（1）判断点B是否在直线y=x上，并说明理由；
（2）若直线y=kx+1交y轴于点P，交直线AB于点C，若△APC为等腰三角形，求直线y=kx+1的解析式．

Answer 1

分析：（1）将已知的二次函数解析式化为顶点坐标式，即可得到顶点B的坐标，然后将其坐标代入直线OB中进行验证即可．
（2）根据直线PC的坐标，可确定P（0，1），根据A、B的坐标可知，△ABO是等腰直角三角形，然后分三种情况考虑：
①AC=PC，此时PC与OB平行，即直线PC的斜率为1，可据此确定该直线的解析式；
②AP=PC，此时PC与x轴平行，即k=0，该直线的解析式为y=1；
③AP=AC=3，过C作CD⊥x轴于D，设直线AB与x轴的交点为E，易得CE的长，而△CDE是等腰直角三角形，即可求得CD、DE的长，从而得到点C的坐标，然后利用待定系数法求得此时直线PC的解析式．

解答：解：（1）已知y=

1

2

x2-2x+4=

1

2

（x-2）²+2，
故B（2，2）；
代入直线y=x中，得2=2，
所以点B在直线y=x上．

（2）由于A（0，4），B（2，2）；
故△AOB是等腰直角三角形，且∠ABO=90°；
易知：P（0，1），AP=3，
分三种情况：
①AC=PC，则PC∥OB，由于直线OB：y=x，则直线PC：y=x+1；
②AP=PC，此时AP⊥y轴，即AP∥x轴，故k=0，直线PC：y=1；
③AP=AC=3，过C作CD⊥x轴于D；
则CE=AE-AC=4

2

-3，CD=DE=4-

3 2

2

，OD=OE-DE=

3 2

2

；
故C（

3 2

2

，4-

3 2

2

），代入直线y=kx+1，
得：

3 2

2

k+1=4-

3 2

2

，k=

2

-1；
故直线PC：y=（

2

-1）x+1；
综上所述，直线y=kx+1的解析式为：y=x+1或y=1或y=（

2

-1）x+1．

点评：此题主要考查了抛物线顶点坐标的求法、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形的构成情况、一次函数解析式的确定等知识，要注意的是（2）题中，由于等腰三角形的腰和底没有明确告知，需要分类讨论，以免漏解．