Question

王老师要求学生进行编题．解题训练，其中小聪同学编的练习题是：
设k=3，方程x²-3x+k=0的两个实数根是x₁，x₂，求

x2

x1

+

x1

x2

的值．
小明同学对这道题的解答过程是：
解：∵k=3，∴已知方程是x²-3x+3=0，
又∵x₁+x₂=3，x₁•x₂=3，
∴

x2

x1

+

x1

x2

=

x 2 2 + x 2 1

x1•x2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1•x2

=

32-2×3

3

=

9-6

3

=1
即

x2

x1

+

x1

x2

=1．
（1）请你针对以上的练习题和解答的正误作出判断，再简述理由；
（2）请你只对小聪同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，改求

x1+x2

x1•x2

的值．

Answer 1

分析：（1）首先要判断方程的两根是否存在，即△≥0是否成立；
（2）取一个使△≥0的k的值后，根据

x2

x1

+

x1

x2

=

(x2+x1)2-2x1x2

x1x2

，代入求值．

解答：解：（1）错误；当k=3时，方程x²-3x+k=0即化为方程x²-3x+3=0，
△=（-3）²-4×1×3=-3＜0，故方程无实根．

（2）要使方程x²-3x+k=0有两个实数根，
则△=（-3）²-4k≥0，即k≤

9

4

，故可取k=2，
则原方程变为x²-3x+2=0，
∵x₁+x₂=3，x₁•x₂=2，

x2

x1

+

x1

x2

=

(x2+x1)2-2x1x2

x1x2

=

32-2×2

2

=

5

2

．

点评：此类题目是中学阶段常规题目，解答时一定要先根据判别式△判断方程根的情况，再根据根与系数的关系解答，不能盲目计算．