Question

（1998•北京）如图，AB为半圆的直径，O为圆心，AB=6，延长BA到F，使FA=AB．若P为线段AF上的一个动点（P点与A点不重合），过P点作半圆的切线，切点为C，作CD⊥AB，垂足为D．过B点作BE⊥PC，交PC的延长线于点E．连接AC、DE．
（1）判断线段AC、DE所在直线是否平行，并证明你的结论；
（2）设AC为x，AC+BE为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）证Rt△PCD∽Rt△PBE得出比例式，根据切割线定理得出比例式，推出

PA

PC

=

PD

PE

，推出即可；
（2）连接BC，根据勾股定理求出BC²=36-x²，证Rt△ABC∽Rt△CBE，得出

AB

BC

=

CB

BE

，求出BE=

BC2

AB

=

36-x2

6

，代入即可求出答案．

解答：（1）线段AC、DE所在直线平行．
证明：∵CD⊥AB，BE⊥PE，∠CPD=∠BPE，
∴Rt△PCD∽Rt△PBE，
∴

PC

PB

=

PD

PE

，
∵PC与⊙O相切于C点，PAB为⊙O的割线
∴PC²=PA×PB
∴

PC

PB

=

PA

PC

，
∴

PA

PC

=

PD

PE

，
∵∠CPA=∠EPD，
∴△CPA∽△EPD，
∴∠PCA=∠PED，
∴AC∥DE；

（2）解：连接BC，
∵AB为半圆直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²；
∵AC=x，AB=6
∴BC²=6²-x²=36-x²，
∵PC与半圆相切于点C
∴∠BAC=∠BCE，
∵∠ACB=∠BEC=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△CBE，
∴

AB

BC

=

CB

BE

，
∴BE=

BC2

AB

=

36-x2

6

，
∵y=AC+BE
∴y=x+

36-x2

6

y=-

1

6

x²+x+6，
∵P为线段AF上动点（P点与A点不重合）
∴点P与点F重合时，AC的值最大，此时PC=

(6+3)2-62

=3

5

，
根据三角形面积求出CD=2

5

，
OD=

62-(2 5 )2

=4，AD=6-4=2，
即AC=

(2 5 )2+22

=2

6

∴y=-

1

6

x²+x+6，其中0＜x≤2

6

．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，切线的性质，平行线的判定，勾股定理，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，难度偏大．