Question

【题目】对于二次函数，有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若，函数在时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点.其中所有正确的结论是___.（填写正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

令y=0，解方程求出抛物线与x轴的两个交点坐标，从而判断出①④正确，利用抛物线的顶点坐标列式整理，再根据二次函数的增减性判断出②错误；消掉a即可得到顶点所在的直线，判断出③正确

解：令y=0，则ax2-（2a-1）x+a-1=0，即（x-1）[ax-（a-1）]=0，
解得x1=1，x2=，
所以，函数图象与x轴的交点为（1，0），（，0），故①④正确；
当a＜0时，＞1，
所以，函数在x＞1时，y先随x的增大而增大，然后再减小，故②错误；
∵x===1-,

y===-,

∴y=x-,

即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y=x-上，故③正确；
综上所述，正确的结论是①③④．