Question

一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为A，B，C，D，E，F，G的风景点（如图）．现要开设一些公共汽车线路，满足以下条件：
（a）由每个风景点可不换车到达其它任一风景点．
（b）每条汽车线路只连接3个风景点．
（c）任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点．
（1）该旅游区应开设几条公共汽车线路？
（2）若风景点在一条线路上，则该公共汽车线路写成A-B-C．
试写出该旅游区完整的公共汽车线路图．

Answer 1

分析：解：（1）由A点至其它6个风景点，其中每条汽车线路只能连续除A点外的2个不同的风景点，所以经过：A点的公共汽车路线有3条，同样情况适合其它6个，据此即可求解；
（2）从几何图形考虑（图），将A，B，C看作三角形的三个顶点，D，E，F分别为三角形三边的点，且AD，BE，CF相交于一点G，再作DEF的外接圆，这样7条线路也就连成了．

解答：解：（1）应开设7条公共汽车线路．
由A点至其它6个风景点，其中每条汽车线路只能连续除A点外的2个不同的风景点，所以经过：A点的公共汽车路线有3条，同样情况适合其它6个点．每条汽车线路仅连接3个点，所以总路线应有

3×7

3

=7（条）．

（2）7条公共汽车线路如下：
A-B-C，A-E-G，A-D-F，B-D-E，B-F-G，C-D-G，C-F-E（注：答案不唯一）．
从几何图形考虑（图），将A，B，C看作三角形的三个顶点，D，E，F分别为三角形三边的点，且AD，BE，CF相交于一点G，再作DEF的外接圆，这样7条线路也就连成了．
A-G-D，A-F-B，A-E-C，B-D-C，B-G-E，C-G-F，D-E-F．

点评：本题考查了正确的推理论证，关键是理解路线问题就是确定三角形的个数问题．