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    精英家教网如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，
    92
    ）．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
    （3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）将抛物线的顶点代入到抛物线的顶点式中得到y=a （ x-1）2+
    9
    2
    ，然后将与y轴交于点C代入到上式中即可求得函数的解析式；
    （2）利用等腰三角形的性质即可得到P点的坐标分别为P1 （1，
    		17
    ），P2 （1，-
    		17
    ），P3 （1，8），P4 （1，
    17
    8
    ）；
    （3）求得抛物线与x轴的交点坐标，然后过点F作FM⊥OB于点M，利用△BEF∽△BAC即可得到函数关系式S=-
    1
    3
    x2+
    2
    3
    x+
    8
    3
    ，配方后即可求得最大值，从而求得E点的坐标．
    解答：解：（1）∵抛物线的顶点为（1，
    9
    2
    ）
    ∴设抛物线的函数关系式为y=a （ x-1）2+
    9
    2
    ∵抛物线与y轴交于点C （0，4），
    ∴a （0-1）2+
    9
    2
    =4
    解得a=-
    1
    2

    ∴所求抛物线的函数关系式为y=-
    1
    2
    （ x-1）2+
    9
    2

    （2）P1 （1，
    		17
    ），P2 （1，-
    		17
    ），P3 （1，8），P4 （1，
    17
    8
    ），

    （3）存在．
    令-
    1
    2
    （ x-1）2+
    9
    2
    =0，解得x1=-2，x2=4
    ∴抛物线y=-
    1
    2
    （ x-1）2+
    9
    2
    与x轴的交点为A （-2，0）B（4，0）
    过点F作FM⊥OB于点M，
    ∵EF∥AC，
    ∴△BEF∽△BAC，
    ∴
    MF
    OC
    =
    EB
    AB

    又∵OC=4，AB=6，
    ∴MF=
    EB
    AB
    ×OC=
    2
    3
    EB精英家教网
    设E点坐标为 （x，0），则EB=4-x，MF=
    2
    3
     （4-x）
    ∴S=S△BCE-S△BEF=
    1
    2
     EB•OC-
    1
    2
     EB•MF
    =
    1
    2
     EB（OC-MF）=
    1
    2
     （4-x）[4-
    2
    3
     （4-x）]
    =-
    1
    3
    x2+
    2
    3
    x+
    8
    3
    =-
    1
    3
    （ x-1）2+3
    ∵a=-
    1
    3
    ＜0，
    ∴S有最大值
    当x=1时，S最大值=3
    此时点E的坐标为 （1，0）．
    点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    29
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    k
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    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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