Question

如图，已知A（-4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．
（1）求C点坐标及直线BC的解析式；
（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；
（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．

Answer 1

解：（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知△ABO∽△ACD，
∴．
由已知A（-4，0），B（0，4）可知
AO=4，BO=4．
∴AD=CD=9，
∴C点坐标为（5，9），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵A（-4，0），B（0，4）在一次函数解析式上，那么
-4k+b=0，b=4，
解得k=1，
化简得y=x+4；

（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a＞0），由题意得，
解得，，
∴解得抛物线解析式为y₁=x²-4x+4或y₂=x²+x+4，
又∵y₂=x²+x+4的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．
∴满足条件的抛物线解析式为y=x²-4x+4，
（准确画出函数y=x²-4x+4图象）

（3）将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，设P到直线AB的距离为h，
故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线l₁和l₂上．
由平行线的性质可得
两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．
如图，设l₁与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
在Rt△BEF中EF=h=，∠EBF=∠ABO=45°，
∴BE=6．
∴可以求得直线l₁与y轴交点坐标为（0，10），
同理可求得直线l₂与y轴交点坐标为（0，-2），
∴两直线解析式l₁：y=x+10；l₂：y=x-2．
根据题意列出方程组：
（1）；（2），
解得；；；，
∴满足条件的点P有四个，
它们分别是P₁（6，16），P₂（-1，9），P₃（2，0），P₄（3，1）．
分析：（1）利用相似及相似比，可得到C的坐标．把A，B代入一次函数解析式即可求得解析式的坐标．
（2）顶点落在x轴正半轴上说明此函数解析式与x轴有一个交点，那么△=0，再把B，C两点即可．
（3）到直线AB的距离为的直线有两条，可求出这两条直线解析式，和二次函数解析式组成方程组，求得点P坐标．
点评：本题用到的知识点为：可把位似比转换为相似三角形的相似比；到一条直线的距离为定值的直线是平行于已知直线的两条直线；平行直线的k的值相等．