Question

【题目】如图，线段MN是周长为36cm的圆的直径（圆心为O），动点A从点M出发，以的速度沿顺时针方向在圆周上运动，经过点N时，其速度变为，并以这个速度继续沿顺时针方向运动之点M后停止。在动点A运动的同时，动点B从点N出发，以的速度沿逆时针方向在圆周上运动，绕一周后停止运动。设点A、点B运动时间为．

（1）连接OA、OB，当t=4时， = °，在整个运动过程中，当时，点A运动的路程为 cm（第2空结果用含t的式子表示）；

（2）当A、B两点相遇时，求运动时间t;

（3）连接OA、OB，当时，请直接写出所有符合条件的运动时间t．

Answer 1

【答案】（1）20；；（2）当A、B两点相遇时，t=或；（3）当时，t=3或或12或

【解析】

（1）根据圆O的周长，即可求出半圆的长，然后求出当t=4时，点A的运动路程和点B的运动路程，即可求出，然后求出占圆周长的分率乘360°即可求出，画出，根据点A行驶的路程=半圆＋和速度即可求出结论；

（2）根据第一次相遇和第二次相遇分类讨论，分别画出对应的图形，然后根据图形找出等量关系即可求出t的值；

（3）根据第一次相遇前、第一次相遇后、第二次相遇前、第二次相遇后，分类讨论分别画出对应的图形，然后根据图形找出等量关系即可求出t的值．

解：（1）∵圆O的周长为36cm

∴半圆的长为36÷2=18cm

当t=4时，根据题意可得=3×4=12cm，=2×4=8cm，如下图所示

∴=＋－半圆=2cm

∴∠AOB=

点A到点N所需时间为18÷3=6s

当时，如下图所示

点A行驶的路程=半圆＋=18＋=

故答案为：20；．

（2）当A、B两点第一次相遇时，如下图所示：

此时＋=半圆

∴3t＋2t=18

解得：t=；

当A、B两点第二次相遇时，如下图所示：

此时＋－半圆=圆O的周长

即＋2t－18=36

解得：t=

综上所述：当A、B两点相遇时，t=或；

（3）①当点A、B第一次相遇之前，∠AOB=30°时，如下图所示

此时＋＋=半圆

即3t＋＋2t=18

解得：t=3;

②当点A、B第一次相遇之后，∠AOB=30°时，如下图所示

此时－＋=半圆

即3t－＋2t=18

解得：t=;

③当点A、B第二次相遇之前，∠AOB=30°时，如下图所示

此时＋－半圆＋=圆O的周长

即＋2t－18＋=36

解得：t=12;

④当点A、B第二次相遇之后，∠AOB=30°时，如下图所示

此时＋－半圆－=圆O的周长

即＋2t－18－=36

解得：t=;

综上所述：当时，t=3或或12或．