Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且BO=OC=3AO．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由见解析；符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）．

【解析】

（1）先求出点C的坐标，在由BO＝OC＝3AO，确定出点B，A的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式.
2）设出点P的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况利用两边相等建立方程求解即可.

（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3，

∴c=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴OC=3，

∵BO=OC=3AO，

∴BO=3，AO=1，

∴B（3，0），A（﹣1，0），

∵该抛物线与x轴交于A、B两点，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，

（2）存在，

理由：设P（1，m），

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴BC=3，PB=，PC=，

∵△PBC是等腰三角形，

①当PB=PC时，

∴=，

∴m=﹣1，

∴P（1，﹣1），

②当PB=BC时，

∴3=，

∴m=±，

∴P（1，）或P（1，﹣），

③当PC=BC时，

∴3=，

∴m=﹣3±，

∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），

∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）．