Question

直线y=k₁x+b与双曲线y=

k2

x

只有一个交点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B、C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求：
（1）直线、双曲线的解析式；
（2）线段BC的长；
（3）三角形BOC的内心到三边的距离．

Answer 1

分析：（1）首先根据待定系数法确定双曲线的解析式，然后根据直线，双曲线只有一个交点，利用一元二次方程的判别式可以确定直线的解析式；
（2）根据（1）的结论可以确定OB，OC的长，再利用勾股定理可以确定BC的长；
（3）根据（2）结合内切圆的知识可以得内心到三边的距离．

解答：解：（1）把A（1，2）代入y=

k2

x

得k₂=2，代入y=k₁x+b得2=k₁+b，
直线y=k₁x+b与双曲线y=

k2

x

只有一个交点A，
∴y=

2

x

=k₁x+b，
∴k₁x²+bx-2=0
∴根的判别式△=b²-4k₁×（-2）=△b²-4acb²+8k₁=0，
∴b=4，k₁=-2，
∴y=-2x+4，y=

2

x

；

（2）当x=0时，y=4，当y=0时，x=2，
∴B（2，0），C（0，4），
∴BC=2

5

；

（3）如图，∵OB=2，OC=4，BC=2

5

，
∴根据切线长定理得到Rt△OBC的内心P到三边的距离r=

1

2

（OB+OC-BC）=3-

5

．

点评：此题既考查了利用待定系数法确定直线，双曲线的解析式，也考查了利用它们的图象和性质解决几何问题．