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    以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．

    （1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．

    ①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；

    ②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

    （2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO="2." 点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

     

    【答案】

    （1）①；②不变；（2），

    【解析】

    试题分析：（1）①连接EF，由已知条件证明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF=30°，利用30°角的余弦值即可求出的值；②若△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，的值不发生变化，连接EF、AD、BC，由①的思路证明∠EMF=30°即可；

    （2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP-ON=-2；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+2．

    （1）①连接EF，

    ∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，

    ∴EF，FM是分别是△ACD和△DBC的中位线，

    ∴EF∥AD，FM∥CB，

    ∵∠ABO=∠DCO=30°，

    ∴∠CDO=60°，

    ∴∠EFC=60°，∠MFD=30°，

    ∴∠EFM=90°，

    ∴△EFM是直角三角形，

    ∵EM∥CD，

    ∴∠EMF=∠MFD=30°，

    ∴cos30°=；

    ②结论：的值不变.

    连接EF、AD、BC

    ∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，

    ∴

    ∵Rt△COD中，∠COD=90°，∠DCO=30°，

    ∴.

    ∴

    ∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，

    ∴∠AOD="∠BOC."

    ∴△AOD∽△BOC．

    ∴，∠1="∠2."

    ∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，

    ∴EF∥AD，FM∥CB，且，  

    ∴，∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4="∠5."

    ∵∠2+∠5+∠6=90°，

    ∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4="90°."

    ∴∠EFM=90°

    ∵在Rt△EFM中，∠EFM=90°，，

    ∴∠EMF=30°.

    ∴；

    （2）O作OE⊥AB于E，

    ∵BO=3，∠ABO=30°，

    ∴AO=3，AB=6，

    ∴AB?OE=OA?OB，

    ∴OE=，

    ∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，

    这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP-ON=；

    当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=，

    ∴线段PN长度的最小值为，最大值为.

    考点：旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线的判定和性质，梯形的中位线和性质，锐角三角函数的定义

    点评：此题知识点多，综合性强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．

     

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    （1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．
    ①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，
    FM
    EM
    =
    		3
    2
    		3
    2
    ；
    ②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，判断
    FM
    EM
    的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；
    （2）如图3，若BO=3
    		3
    ，点N在线段OD上，且NO=2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为
    3
    2
    		3
    -2
    3
    2
    		3
    -2
    ，最大值为
    3
    		3
    +2
    3
    		3
    +2
    ．

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    ①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；

    ②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

    （2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO="2." 点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

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    ②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

    （2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=3．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

     

     

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    图1                         图2                     图3

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    ①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；

    ②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

    （2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

     

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