Question

已知抛物线y=-x²+2mx+4．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）设抛物线与x轴相交于A、B两点，且

1

OA2

+

1

OB2

=

1

2

，求抛物线的函数解析式，并画出它的图象；
（3）在（2）的抛物线上是否存在点P，使∠APB等于90°？如果不存在，请说明理由；如果存在，先找出点P的位置，然后再求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）将二次函数的各系数代入顶点坐标公式（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）解答；
（2）设A、B两点的坐标分别为（x₁，0）（x₂，0），根据函数与方程的关系，将

1

OA2

+

1

OB2

=

1

2

转化为一元二次方程根与系数的关系解答；
（3）假设P点存在，设出P点坐标的参数表达式，根据勾股定理解出P点坐标，则可证明存在点P．

解答：解：（1）根据二次函数的顶点坐标公式，抛物线的顶点坐标为（m，4+m²）．

（2）设A、B两点坐标为（x₁，0）（x₂，0），
因为

1

OA2

+

1

OB2

=

1

2

，
所以

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

1

2

，x1
配方得

(x1+x2)2-2x1x2

(x1x2)2

=

1

2

，根据根与系数的关系，

(2m)2-2×(-4)

(-4)2

=

1

2

，则

4m-2×(-4)

16

=

1

2

，
解得m=0，
则函数解析式为y=-x²+4；
则其顶点坐标为（0，4），与x轴交点为（-2，0），（2，0）．如图所示

（3）设P（x，-x²+4），
又因为A（-2，0），B（2，0），根据勾股定理（两点间距离公式）
（x+2）²+（4-x²）²+（x-2）²+（4-x²）=4²，
解得x=±

3

或x=±2（与A、B重合，不能构成三角形，舍去）．
P点坐标为（±

3

，1）．

点评：此题重点考查了一元二次方程和二次函数之间的关系．通过将二次函数转化为一元二次方程，可以根据根与系数的关系解题，尤其注意（3）为开放性题目，需要进行猜想和证明．