Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当DF：DE=2：1时，∠BAC的度数为多少？说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AD，OD，由AB为圆O的直径，得到AD垂直于BC，由AB=AC，利用三线合一得到AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OD与AC平行，由EF垂直于AC，得到EF垂直于OD，即可确定出EF为圆O的切线；
（2）由OD与AC平行，利用平行线分线段成比例得到DF：DE=OF：AO，由DF：DE=2：1得到OF=2AO，而OF=OB+BF，OA=OB，得到B为OF的中点，在直角三角形ODF中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到BD=OB=OD，即三角形OBD为等边三角形，可得出∠DOB=60°，再利用两直线平行同位角相等即可得到∠BAC=60°．

解答：解：（1）证明：连接OD，AD，
∵AB为圆O的直径，
∴AD⊥BC，又AB=AC，
∴AD为∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，又EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
则EF为圆O的切线；

（2）∵OD∥AE，DF：DE=2：1，
∴DF：DE=FO：AO=2：1，即FO=2AO，
∵FO=OB+BF，
∴OB=BF，
在Rt△ODF中，B为斜边的中点，
∴BD=OB=BF=

1

2

OF，
∴OD=OB=BD，即△OBD为等边三角形，
∴∠DOB=60°，
∵OD∥AC，
∴∠BAC=∠DOB=60°．

点评：此题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．