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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知抛物线，点F（1，1）．
    （I）求抛物线C1的顶点坐标；
    （II）①若抛物线C1与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证：．
    ②取抛物线C1上任意一点P（xP，yP）（0＜xP＜1），连接PF，并延长交抛物线C1于Q（xQ，yQ）．试判断是否成立？请说明理由；
    （III）将抛物线C1作适当的平移，得抛物线，若2＜x≤m时，y2≤x恒成立，求m的最大值．
    【答案】分析：（I）将抛物线C1：y1=x2-x+1的一般式转化为顶点式，即可求得抛物线C1的顶点坐标；
    （II）①由A（0，1），F（1，1），可得AB∥x轴，即可求得AF与BF的长，则问题得解；
    ②过点P（xp，yp）作PM⊥AB于点M，即可求得PF=yp，同理QF=yQ，然后由△PMF∽△QNF，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
    （III）令y3=x，设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x，x′，且x＜x′，观察图象，随着抛物线C2向右下不断平移，x，x′的值不断增大，当满足2＜x≤m，y2≤x恒成立时，m的最大值在x′处取得．可得：当x=2时，所对应的x′即为m的最大值．
    解答：解：（I）∵y1=x2-x+1=（x-1）2+，
    ∴抛物线C1的顶点坐标为（1，）；

    （II）①证明：根据题意得：点A（0，1），
    ∵F（1，1），
    ∴AB∥x轴，得AF=BF=1，
    ∴+=2；

    ②+=2成立．
    理由：
    如图，过点P（xp，yp）作PM⊥AB于点M，
    则FM=1-xp，PM=1-yp，（0＜xp＜1），
    ∴Rt△PMF中，由勾股定理，
    得PF2=FM2+PM2=（1-xp）2+（1-yp）2，
    又点P（xp，yp）在抛物线C1上，
    得yp=（xp-1）2+，即（xp-1）2=2yp-1，
    ∴PF2=2yp-1+（1-yp）2=yp2，
    即PF=yp，
    过点Q（xQ，yQ）作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N，
    同理可得：QF=yQ，
    ∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
    ∴△PMF∽△QNF，
    ∴，
    这里PM=1-yp=1-PF，QN=yQ-1=QF-1，
    ∴，
    即=2；

    （III）令y3=x，
    设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x，x′，且x＜x′，
    ∵抛物线C2可以看作是抛物线y=x2左右平移得到的，
    观察图象，随着抛物线C2向右下不断平移，x，x′的值不断增大，
    ∴当满足2＜x≤m，y2≤x恒成立时，m的最大值在x′处取得．
    可得：当x=2时，所对应的x′即为m的最大值．
    于是，将x=2代入（x-h）2=x，
    有（2-h）2=2，
    解得：h=4或h=0（舍去），
    ∴y2=（x-4）2．
    此时，由y2=y3，得（x-4）2=x，
    解得：x=2，x′=8，
    ∴m的最大值为8．
    点评：此题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，相似三角形的判定与性质以及最大值等问题．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
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    （2）在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；
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    （1）求抛物线的解析式和对称轴；
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    已知抛物线过点A（-1，0），B（0，6），对称轴为直线x=1
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中A（0，2），B（4，0），已知AC交BC于点C，AC∥x轴，BC∥y轴，①以C为对称中心，作△ABC关于C的像△A1B1C；②将△ABC逆时针旋转90°得到△AB2C1（题中已经作出），继续沿y轴作△AB2C1的轴对称图形得到△AB3C1
    （1）按要求做出△A1B1C和△AB3C1；
    （2）已知抛物线P经过点A，B，A1，请求出该抛物线方程；
    （3）平移（2）中的抛物线，设新的抛物线方程为y=ax2-mx+3m2+5，并使抛物线的顶点落在△B1B2B3边上或内部，求m的范围．

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