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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
    （1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
    （2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
    （3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．

    【答案】分析：（1）首先求出点B的坐标和m的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
    （2）△ADP与△ADC有共同的底边AD，因为面积相等，所以AD边上的高相等，即为1；从而得到点P的纵坐标为1，再利用抛物线的解析式求出点P的纵坐标；
    （3）如解答图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形，注意不要漏解．针对每一个菱形，分别进行计算，求出线段MF的长度，从而得到运动时间t的值．
    解答：解：（1）∵点B（-2，m）在直线y=-2x-1上
    ∴m=-2×（-2）-1=4-1=3，
    所以，点B（-2，3），
    又∵抛物线经过原点O，
    ∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
    ∵点B（-2，3），A（4，0）在抛物线上，
    ∴，
    解得：．
    ∴设抛物线的解析式为．

    （2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，
    ∴，
    若S△ADP=S△ADC，
    ∵，，
    又∵点C是直线y=-2x-1与y轴交点，
    ∴C（0，-1），
    ∴OC=1，
    ∴，即或，
    解得：．
    ∴点P的坐标为 ．

    （3）结论：存在．
    ∵抛物线的解析式为，
    ∴顶点E（2，-1），对称轴为x=2；
    点F是直线y=-2x-1与对称轴x=2的交点，∴F（2，-5），DF=5．
    又∵A（4，0），
    ∴AE=．
    如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
    ①菱形AEM1Q1．
    ∵此时EM1=AE=，
    ∴M1F=DF-DE-DM1=4-，
    ∴t1=4-；
    ②菱形AEOM2．
    ∵此时DM2=DE=1，
    ∴M2F=DF+DM2=6，
    ∴t2=6；
    ③菱形AEM3Q3．
    ∵此时EM3=AE=，
    ∴DM3=EM3-DE=-1，
    ∴M3F=DM3+DF=（-1）+5=4+，
    ∴t3=4+；
    ④菱形AM4EQ4．
    此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，
    ∵易知△AED∽△M4EH，
    ∴，即，得M4E=，
    ∴DM4=M4E-DE=-1=，
    ∴M4F=DM4+DF=+5=，
    ∴t4=．
    综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4-，t2=6，t3=4+，t4=．
    点评：本题是二次函数综合题，考查的知识点包括二次函数的图象与性质、一次函数、待定系数法、图形面积、菱形的判定与性质等，由于涉及考点众多，所以难度较大．第（2）问是存在型问题，要点在于利用面积的相等关系求出点P的纵坐标，然后运用方程思想求得其横坐标；第（3）问是运动型问题，注意符合条件的菱形有四个，避免漏解．
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    如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=-2与x轴交于点C，直线y=-精英家教网2x+1经过抛物线上一点B（2，m），且与y轴．直线x=-2分别交于点D、E．
    （1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
    （2）①判断△CBE的形状，并说明理由；②判断CD与BE的位置关系；
    （3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m），且与y轴、直线x=2分别交于点D、E，
    （1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
    （2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2），
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，△CDP的面积为S，求S关于m的关系式；
    （3）当m=2时，点Q为平移后的抛物线的一动点，是否存在这样的⊙Q，使得⊙Q与两坐标轴都相切？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线经过原点O和x轴上的另一点E，顶点为M（2，4），矩形ABCD的顶点A与O重合，AD，AB分别在x，y轴上，且AD=2，AB=3．
    （1）求该抛物线对应的函数解析式；
    （2）现将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从左图所示位置沿x轴的正方向匀速平行移动；同时AB上一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速运动，设它们的运动时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与抛物线的交点为N，设多边形PNCD的面积为S，试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
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