Question

观察等式：

1

1×2

=1-

1

2

，
          

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，
         

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
将以上三个等式两边分别相加得

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

 -

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接写出下式的计算结果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

=

2010

2011

．
（3）探究并计算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2009×2011

=

1005

2011

．

Answer 1

分析：（1）观察已知等式，由特殊到一般，得出结论；
（2）由（1）的结论，将每个分数化为两个分数，寻找抵消规律，计算结果；
（3）与（2）比较，分母的两个因数相差2，故各分子需要乘以2，才能将一个分数拆分为两个分数，再寻找抵消规律．

解答：解：（1）由已知等式，得

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
故答案为：

1

n

-

1

n+1

；
    
（2）由分数拆分，抵消规律可知，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

=

2010

2011

，
故答案为：

2010

2011

；
     
（3）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2009×2011

=

1

2

（

2

1×3

+

2

3×5

+

2

5×7

+…+

2

2009×2011

）
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2009

-

1

2011

）
=

1

2

（1-

1

2011

）
=

1005

2011

．
故答案为：

1005

2011

．

点评：本题考查的是有理数的运算能力．关键是根据已知等式，由特殊到一般，得出分数的拆分规律和抵消规律．