Question

如图1，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作切线CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．
（1）猜想：△DCE是怎样的三角形，并说明理由．
（2）若将图1中的半径OB所在直线向上平行移动交⊙O于B′，其他条件不变（如图2），那么上述结论是否成立？说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据切线的性质，以及直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，即可证明∠ADC=∠AEO，从而得到∠DEC=∠ADC，继而可证明△DCE是等腰三角形．
（2）上述结论仍然成立，连接OD，证明方法和（1）完全相同．

解答：解：（1）△CDE是等腰三角形．理由如下：
连接OD，则OD⊥CD，∠CDE+∠ODA=90°；
在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°，
在⊙O中，∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，∠CDE=∠AEO，
又∵∠AEO=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，
∴CD=CE，
即△CDE是等腰三角形；

（2）结论仍然成立．理由如下：
∵将原来的半径OB所在直线向上平行移动，
∴CF⊥AO于F，
在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°，
连接OD，则∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD，
故可得∠A=∠ODA，∠AEF=∠CDE，
又∵∠AEF=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，
∴CD=CE．
故△CDE是等腰三角形．

点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定，纵观这两问，解题最关键的是利用等量代换得出∠CED=∠CDE，难度一般．