Question

【题目】如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.

（1）探求与的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，若分别为上的动点.

①当的长度取得最小值时，求的长度；

②如图③，若点在线段上，，则的最小值= .

Answer 1

【答案】（1）AO=2OD，理由见解析；（2）①；②.

【解析】

试题分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根据直角三角形的性质即可得到结论；

（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值，根据线段垂直平分线的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等边三角形，得到BN=BD=，于是得到结论；

（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可得到结论．

试题解析：（1）AO=2OD，

理由：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，

∴AO=OB，

∵BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴∠BDO=90°，

∴OB=2OD，

∴OA=2OD；

（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，

则此时PN+PD的长度取得最小值，

∵BE垂直平分DD′，

∴BD=BD′，

∵∠ABC=60°，

∴△BDD′是等边三角形，

∴BN=BD=，

∵∠PBN=30°，

∴，

∴PB=；

（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，

连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．

根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，

∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，

∴∠D′BQ′=90°，

∴在Rt△D′BQ′中，

D′Q′=．

∴QN+NP+PD的最小值=，