Question

已知：如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B两点，OA=OB=1，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ=45°，射线PQ交x轴于点Q．
（1）求直线AB的解析式．
（2）△OPQ能否是等腰三角形？如果能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
（3）无论m为何值，（2）中求出的P点是否始终在直线y=mx+

1-m

2

（m≠0）上？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出A、B点的坐标，利用待定系数法解方程组，求出函数的解析式；
（2）假设存在等腰三角形，分三种情况讨论：（ⅰ）QP=QO；（ⅱ）QP=QO；（ⅲ） 若PO=PQ．能求出P点坐标，则存在点P，否则，不存在．
（3）将（2）中的点代入y=mx+

1-m

2

（m≠0），等式成立的点即在直线上．

解答：解：（1）由OA=OB=1可知点A、B的坐标是A（0，1），B（1，0），
把A（0，1），B（1，0）代入y=kx+b得：

b=1 k+b=0

，
解得：k=-1，b=1，
则y=-x+1；

（2）△OPQ可以是等腰三角形．
过P点PE⊥OA交OA于点E，
（ⅰ）若OP=OQ，
则∠OPQ=∠OQP=∠OPQ，
∴∠POQ=90°，
∴点P与点A重合，
∴点P坐标为（0，1），
（ⅱ）若QP=QO，
则∠OPQ=∠QOP=45°，
所以PQ⊥QO，
可设P（x，x）代入y=-x+1得x=

1

2

，
∴点P坐标为（

1

2

，

1

2

），
（ⅲ） 若PO=PQ，
∵∠OPQ+∠1=∠2+∠3，
而∠OPQ=∠3=45°，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠4=45°，
∴△AOP≌△BPQ（AAS），
PB=OA=1，
∴AP=

2

-1
由勾股定理求得PE=AE=1-

2

2

，
∴EO=

2

2

，
∴点P坐标为（1-

2

2

，

2

2

），
∴点P坐标为（0，1）或（

1

2

，

1

2

）或（1-

2

2

，

2

2

）时，△OPQ是等腰三角形．

（3）把x=0代入y=mx+

1-m

2

≠1；
把x=

1

2

代入y=mx+

1-m

2

=

1

2

；
把x=1-

2

2

代入y=mx+

1-m

2

≠

2

2

，
所以，（2）中求得的点P，只有当点P坐标为（

1

2

，

1

2

）时，P点始终在直线y=mx+

1-m

2

（m≠0）上．

点评：本题考查了一次函数综合题，属于存在性问题，要分类讨论，同时假设存在，能求出点的坐标，则存在，否则，不存在．