Question

已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0有两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）求证：无论k为何值，关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0都有两个不相等的实数根；
（2）当k为何值时，△ABC是直角三角形；
（3）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）若要证明方程总有两个不相等的实数根，只需证明△＞0．
（2）利用求根公式得到x₁=k+2，x₂=k+1，设AB=k+2，AC=k+1，再利用勾股定理的逆定理分类讨论：AB²+AC²=BC²或AB²+BC²=AC²或AC²+BC²=AB²，分别建立关于k的方程，解出k的值，然后满足两根为正根的k的值为所求．．
（3）此题要分两种情况进行讨论，若AB=BC=5时，把5代入方程即可求出k的值，若AB=AC时，则△=0，列出关于k的方程，解出k的值即可．

解答：解：（1）因为△=b²-4ac=[-（2k+3）]²-4×1×（k²+3k+2）=1＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．

（2）解：x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的解为x=

2k+3±1

2

，
∴x₁=k+2，x₂=k+1，
设AB=k+2，AC=k+1，
当AB²+AC²=BC²，即（k+2）²+（k+1）²=5²，
解得：k₁=-5，k₂=2，
由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=2；
当AB²+BC²=AC²，即（k+2）²+5²=（k+1）²，
解得：k=-14，
由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=-14舍去；
当AC²+BC²=AB²，即（k+1）²+5²=（k+2）²，
解得：k=11，
由于AB=k+2=13，AC=12，所以k=11，
∴k为2或11时，△ABC是直角三角形．

（3）若AB=BC=5时，5是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的实数根，把x=5代入原方程，得k=3或k=4．
由（1）知，无论k取何值，△＞0，所以AB≠AC，故k只能取3或4．
根据一元二次方程根与系数的关系可得：AB+AC=2k+3，当k=3时，AB+AC=9，则周长是9+5=14；
当k=4时，AB+AC=8+3=11．则周长是11+5=16．

点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系是：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．在解题的过程中注意不要忽视三角形的边长是正数这一条件．