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    如图，在□ ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O

    (1)试说明：BF＝DE；

    (2)试说明：△ABE≌△CDF；

    (3) 如果在□ ABCD中， AB＝5，AD＝10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发,沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．(画出示意图)

     

    【答案】

    (1)见解析

    (2) 见解析

    (3)  ①m+n=15  (7′)   　　　     ②m+n=15  (8′)　　　   　　③m+n=15  (9′)

    【解析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定. (1) 可通过证明OE=OF，然后根据垂直平分线性质来得出DE=DF，要证明OE=OF，证明三角形BOF和三角形DOE全等即可．(2)根据全等三角形的判定求证(3) 根据P.Q两点在运动中，保持了四边形BPDQ是平行四边形，因此必须要对边平行且相等，分三种情况进行讨论，

     

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    12
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    （3）在（1）的条件下，当△DAP和△PBQ相似时，求BQ的长；
    （4）设点Q的运动速度为a厘米/秒，问是否存在a的值，使得△ADP与△PBQ和△DCQ这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值，并写出此时BQ的长；若不存在，请说明理由．
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